Espacios vectoriales

 

Espacios vectoriales

1. Qué son los espacios vectoriales.

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales llamadas axiomas.

2. Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1. Tenga la propiedad conmutativa:

2. Tenga la propiedad asociativa:

3. Exista el elemento neutro:

4. Exista el elemento opuesto:

Y tenga la operación producto por un escalar

Operación externa tal que:

5. Tenga la propiedad asociativa:

6. Exista el elemento neutro:

7. Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:

8. Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:         

3. Qué es un subespacio vectorial.

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

 

4. Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

Propiedad 1

0u=0V0u=0V

Propiedad 2

α0V=0Vα0V=0V

Propiedad 3

(–α)u=–(αu)(–α)u=–(αu)

En particular, para α=1α=1 :(–1)u=–u

 

5. Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión: Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.

Rango: El rango de A es el número de posiciones pivote en la forma escalonada de A.

Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.