Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

 

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Matrices

Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros.

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n., siendo m el numero de filas y n el numero de columnas.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, siendo su dimensión n x n .

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Hay operaciones elementales de fila.

1. Sustraer a una fila un múltiplo de otra.

2. Intercambiar dos filas.

3. Multiplicar una fila por una constante diferente de cero.

Metodo gauss jordan

Es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.​

Determinante

El determinante es una propiedad de las matrices que se obtiene realizando diferentes algoritmos. Esta propiedad contiene información obre la matriz y la solubilidad del sistema de ecuaciones

Regla de Cramer.

Es un método que usa determinantes para hallar la solución al sistema de ecuaciones.

Responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cual de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

Teniendo en cuenta el procedimiento el método de Gauss-Jordan es más eficiente para este tipo de ecuaciones.

b. ¿Que ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Los métodos con determinante para solucionar sistemas de ecuaciones previenen de realizar cálculos en exceso ya que el determinante del sistema no puede ser cero. ya que para usar la regla de Crammer la matriz debe necesariamente ser invertible.

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

Metodo cofactores: Se multiplican cada elemento de la fila o columna por su respectivo cofactor. Se suman los productos obtenidos en el numeral 3 y el resultado obtenido es el valor del determinante.

Método para matrices de 3x3: Este método consiste en aumentar a la derecha las dos primeras columnas o abajo las dos primeras filas de tal manera que con estas obtengamos la multiplicación de las diagonales principales y sumar sus productos de cada una y restar de este valor la suma de las multiplicaciones de las otras diagonales.

Método de Sarrus: También llamado la estrella de David consiste en 2 partes, la primera es sumar la multiplicación de la diagonal, más la multiplicación del primer triángulo formado a la derecha de este y su inverso, a esto se le resta la multiplicación de la diagonal secundaria más el triángulo formado a su derecha más su inverso.